مفهوم مشتق

۱)آموزش مفهوم مشتق 
۲)حد و پیوستگی
۳)تعبیر هندسی مشتق

۴) حل مثال

مفهوم مشتق

اگر بخواهیم مفهوم مشتق را بگوییم ابتدا باید بدانیم مشتق  که واژه انگلیسی آن derivative ، از موضوعات و مطالب

بسیار مهم و اساسی در ریاضیات و هندسه و فیزیک و... تمامی رشته های علوم پایه و مهندسی است.  مشتق کاربرد

های زیادی دارد که پایه خیلی از مطالب است. دانستن مفهوم مشتق بسیار لازم و کاربردی است. در ریاضی تجربی و

درس حسابان رشته ریاضی و همچنین دروس دانشگاهی مشتق بسیار کاربردی است پس در ادامه به مفهوم مشتق

بصورت فرمولی و هندسی و حل مثال میپردازم.

آموزش مفهوم مشتق
مفهوم مشتق

بطور کلی اگر مفهوم مشتق را بگویم این است که مشتق معرف شیب خط مماس بر منحنی و یا نمودار در هر نقطه است.

که مشتق نقطه ایگوییم. اما مشتق را میتوان اینجور هم تعریف کرد که سرعت تغییر متغیر یا پارامتری مانند x  است. این

مفوم در فیزیک و سینماتیک و دینامیکبیشتر و جدی تر خودرا نشان میدهد. منظور از شیب خط مماس این است که اگر

دو تا نقطه روی نمودار (چه صعودی باشد و چه نزولی) در نظربگیریم و خط واصل آن دو را رسم کنیم. خط راستی است

که با محور x ها زاویه ای ساخته است. که تانژانت این زاویه برابر با شیب خط است.حال برای اینکه مفهوم مشتق را

تعریف کنیم باید ابتدا گریزی به مفهوم حد بزنیم.  چون مشتق از جنس حداست.(پیشنهاد میکنم حد و پیوستگی را قبلا

مطالعه مشتق یک مرور کوتاهی داشته باشین)

 

حد و پیوستگی

 

در حد و پیوستگی وقتی میخواستیم حد تابعی را بگیریم یا محاسبه کنیم وقتی به یک نقطه خاص نزدیک میشد به این صورت عمل میکردیم

که حد تابع را از چپ و راست وقتی به آن نقطه نزدیک میشد را میگرفتیم  . تابع زمانی حد داشت که آن نقطه در

همسایگی باز آن بازه باشد مهم  هم نیست که آننقطه در  آن بازه باشد یا همسایگی محذوف آن نقطه باشد. ما داریم حد

میگریم نه مقدار تابع . خوب حالا بیایم این هایی را که گفتیم بصورت ریاضی وار و با شکل بررسی کنیم.فرض کنید تابع f

همانند شکل زیر باشد

حد و پیوستگی-تعبیر هندسی مشتق- مفهوم مشتق- آموزش مشتق

limxx۰+fx=limxx۰-fx

نقطه ای مثل \dpi{120} \large x_{0}  در همسایگی بازه باز (a,b) قرار دارد. وقتی از سمت چپ و راست به نقطه \dpi{120} \large x_{0} نزدیک میشویم مقدار

تابع نیز به یک عددی نزدیک میشود. میبینیم که با میل کردن به سمت \dpi{120} \large x_{0} مقدار تابع نیز به (\dpi{120} \large x_{0})f نزدیک میشود.

به این کار ما حد گرفتن از تابع میگفتیم. توجه شود که حد راست و حد چپ اگر باهم برابر میشدند میگفتیم که تابع در

آن نقطه حد دارد. و شرایط دیگر حد گرفتن از توابع خاص و بررسی حد آنها هم هست که مورد بحث قرار نمیدهیم چون

بحث ما مفهوم مشتق است و فهم اولیه حد و پیوستگی کار ما را راه می اندازید.

حالا وقتی تابع در آن نقطه حد داشته باشد ممکن است که آن نقطه اصلا در دامنه نباشد ، مهم نیست چون ما حد تابع

را بررسی میکنیم و نزدیکی های آن نقطه حد تابع بررسی میشود.

اما برای اینکه تابع در آن نقطه پیوسته باشد علاوه بر اینکه باید حد چپ و راست یکی باشد، باید مقدار خروجی حد چپ

و حد راست برابر با مقدار تابع در آن نقطه باشد. پس در پیوستگی باید آن نقطه تعریف شده و در دامنه وجود داشته

باشد تا بتوانیم بگوییم که پیوسته است یا نیست.

حد و پیوستگی- تعبیر هندسی مشتق- مفهوم مشتق

limxx۰+fx=limxx۰-fx=fx۰

حال که مقدار تابع در آن نقطه برابر با حد تابع شد میگوییم تابع پیوسته است اما باید توجه شود که حد وجود داشته

باشد حتما و برابر مقدار تابع باشد . در نقاط ابتدا و انتهای تابع حد وجود ندارد و فقط حد چپ یا فقط حد راست وجود

دارد پس پیوستگی را در آن نقاط نمیشود بررسی کرد مگر بگوییم پیوستگی راست یا پیوستگی چپ دارد. در کل اگر حد

تابع با مقدار آن در نقطه در نظر مورد بررسی برابر نباشند میگوییم تابع پیوسته نیست و اصطلاحا گسسته است. 

تعبیر هندسی مشتق

در مفهوم مشتق برای تعبیر هندسی مشتق ابتدا باید یادآوری از شیب خط کنم:

شیب خط

برای اینکه بتوانیم مشتق را تعریف کنیم ابتدا باید شیب خط را یادآوریم کنیم که وقتی تابعی درجه اول داشتیم شیب خط

آن برابر بود با تانژانت زاویه ای که با محور طولها میسازد که برابر میشود با تغییرات عرض نسبت به تغییرات طول.

شیب خط - مفهوم مشتق-تعبیر هندسی مشتق

m=tanα=y۲-y۱b-a

وقتی تابعی داشته باشیم که نمودار مثلا به شکل زیر باشد. دو نقطه دلخواه روی آن انتخاب میکنیم و خط واصل آن ها را رسم میکنیم. رفته رفته اگر این بازه را کوچکتر کنیم یعنی محدوده انتخاب دو نقطه را به هم نزدیک کنیم و اگر این دو نقطه انتخابی خیلی به هم نزدیک شوند خط واصل آنها تغییر میکند و تبدیل به خط مماس در آن نقطه ای میشود که نقطه دوم را به آن نزدیک کرده ایم.

مفهوم مشتق- شیب خط- تعبیر هندسی مشتق

حالا اگر روی محور مختصات دکارتی این منحنی را بصورت زیر بررسی کنیم و بخواهیم بصورت ریاضی وار مشتق را توصیف کنیم. اینگونه عمل میکنیم:

شیب خط مماس- مشتق- مفهوم مشتق- تعبیر هندسی مشتق

مشتق بصورت ریاضی وار:

گفتیم که مشتق یعنی شیب خط مماس. بالا شیب خط را براتون یادآوری کردم. حالا اگر اینجا شیب خط واصل را بخواهیم حساب کنیم برابر است با:

tanα=y۲-y۱x۲-x۱=f(X)-f(a)X-a

گفتم که نقطه x را به a  نزدیک کنیم خط واصل تبدیل به خط مماس میشود . پس اگر از این عبارت حد بگیریم در واقع مشتق را بصورت ریاضی تعریف کرده ایم:

limxaf(x)-f(a)x-a=f'(x)

این میشود تعریف مشتق. پس مشتق از جنس حد است. برای همین گفتم حد و پیوستگی را مروری داشته باشید.

در مسائل مشتق خیلی به حالات مبهم و حالت مبهم 

oo

  برخورد خوایهم کرد . برای همین باید روش های رفع ابهام و کار با توابع مختلف و رفتار توابع آشنا باشیم. مشتق اول تابع را با 

f'

نشان میدهیم.

فرمول های دیگری هم برای مشتق بکار میگیرند که در اثبات مسائل مشتق زیاد به درد میخورن .

limhof(x+h)-f(x)h

 که h  همان مقدار تغییرات طولهاست یعنی 

x

است که با نزدیک شدن نقاط به هم فاصله دو نقطه خیلی کم میشود و به سمت صفر میرود یعنی به سمت صفر میل میکند.

حل مثال:

۱)مشتق تابع 

f(x)=x۲

  در نقطه x=1  با استفاده از فرمول مشتق بدست آورید.

حل: ابتدا فرمول مشتق را مینویسم:

limxaf(x)-f(a)x-a=f'(x)

نقطه a همان x=1  است. چون مشتق تابع در یک نقطه را بررسی مکنیم بهتر است از این فرمول مشتق استفاده کنیم.

limx۱f(x)-f(۱)x-۱=f'(۱)

نقطه را در فرمول جایگذاری میکنیم که مشتق تابع در نقطه ۱ را بدست آوریم.

در این حالت به مبهم برخورد خواهیم کرد که حالت صفر صفرم است.

limx۱x۲-f(۱)x-۱=oo

 

 

 

برای رفع ابهام اتحاد مزدوج در صورت را تجزیه میکنیم به عامل های خود:

limx۱(x-۱)(x+۱)x-۱

حالا صورت و مخرج عبارتی مشترک دارد که با هم حذف میشوند و گوییم که عامل ابهام حذف شد. حالا نقطه گذاری را با خیال راحت انجام میدهیم. و حاصل مشتق برابر عدد ۲ است.

limx۱(x+۱)=۱+۱=۲

میتوانید در شبکه های اجتماعی نیز من را دنبال کنید

این پست دارای 2 نظر است

  1. علی

    خیلی ممنون عالیییی بود

  2. fjafari

    عالی ممنون

دیدگاهتان را بنویسید